Finscher lehrte ab 1967 an der Universität Saarbrücken, war ab 1968 Professor für Musikwissenschaft in Frankfurt am Main, 1981–95 in Heidelberg. Er war Mitherausgeber der Hindemith-Gesamtausgabe sowie Herausgeber der 2., völlig neu bearbeiteten Ausgabe der »Allgemeinen Enzyklopädie der Musik« (20 Bände, 1994–2008). Er veröffentlichte außerdem Arbeiten zur Musik der Klassik